Авербах начал увлекатся шахматами с 3 лет,а играть с семи. Победитель всесоюзного турнира (1938) среди школьников. Мастер спорта СССР с 1944, трёхкратный чемпион Москвы (1949, 1950, 1962). Победитель чемпионата Прибалтики (1946; вне конкурса) и турнира памяти Н. Рюмина (1948). Чемпион СССР (1954). Участник 15 других чемпионатов страны; лучшие результаты: 1951 — 6—8-е м.; 1956 — 1—3-е (дополнительный матч-турнир — 2-е м.); 1958 — 4-е; 1960 — 6-е; 1961 — 7—8-е м. Участник Спартакиад народов СССР в составе сборной команды Москвы: 1959 — 1-е м.; 1963 — 2-е. На международный соревнованиях дебютировал в 1949 — матч-турнир Москва — Будапешт. В составе сборной команды СССР победитель командных чемпионатов Европы (1957 и 1965). Участник турнира претендентов (1953) — 10-11-е м., межзональных турниров (1952 и 1958) — 5—8-е и 7—11-е м. Победитель ряда международных соревнований: Дрезден (1956); Джакарта (1960, 1979); Аделаида (1960); Вена (1961); Москва (1962, турнир ЦШК); Рио-де-Жанейро (1965); Крайстчерч (1967); Бухарест (1971); Поляница-Здруй (1975; мемориал А. Рубинштейна) и др. Лучшие результаты в других международных соревнованиях: Гастингс (1959/1960) — 2—3-е м.; Кисловодск (турнир ЦШК; 1964) и Мар-дель-Плата (1965) — 3-е; Пальма (остров Мальорка; 1972) — 5—7-е; Поляница-Здруй (1976) — 2—4-е; Реджо-нель-Эмилия (1977/78) — 2-е; Манила (1979) — 3—5-е м. В составе сборной команды СССР участник матчей с шахматистами Аргентины, Великобритании, США, Уругвая, Франции, Швеции, Югославии.